matemáticas de 10°

FACTORIZACIÓN CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Es posible factorizar expresiones que involucran funciones trigonométricas ,mediante los mismos  métodos que se utilizan en la factorizacion de polinomios  . #FACTOR COMUN En este caso es necesario identificar un factor que aparezca en todos los términos de la expresión y aplicar la propiedad distributiva. EJEMPLO:  X (Y + Z ) = X x Y + X x Z . X (Y - Z ) = XY - XZ # 18 - 27  6 x 3 - 9 x 3 3(6-9) #24 + 12 6 x 4 + 3 x 4  4 (6 + 3) # sen 2X senX - cosX = senX - senX + senX x cosX  = ( senX + cosX)

ECUACIÓN GENERAL  Ley del coseno En todo triangulo, el cuadrado de la longitud de uno e los lados es igual es la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros lados menos dos veces el producto de estas longitudes por el coseno del angulo comprendido entre ellos

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS  En este tema se estudiará la solucion de triangulos en los cuales ninguno de los triángulos es recto. Este tipo de triángulos se denominan oblicuángulos para resolver  triángulos oblicuángulos se usa dos teoremas: teorema o ley del seno y teorema o ley del coseno. En la resolución de triángulos se presentan 4 casos Caso 1 (LAA Ó ALA)  Si se conocen un lado y dos ángulos Caso 2 (LLA) Si se conocen dos lados y el ángulo opuesto alguno de ello. Caso 3 (LAL)  Si se conoce dos lados y el angulo comprendido entre ellos Caso 4(LLL) Si se conoce la medida de los 3 ángulos Para resolver triángulos que cumplen las condiciones 1 y 2 se utiliza la ley del seno y para solucionar triángulos que cumplen las condiciones 3 y 4 se utiliza la ley del coseno.

TRIGONOMÉTRICA ANALÍTICA En las expresiones algebraicas se utilizan variables  y constante , cuyos valores  pertenecen al conjunto de números reales. En esta se aplicara algunos procedimientos utilizados en álgebra la expresiones que involucran funciones trigonométricas, pues estos valores pertenecen a los números reales. OPERACIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Para iniciar el estudio de las expresiones que involucran las funciones trigonométricas se estudian , la suma , la resta ,  la multinacional y la division ,de estas expresiones . SUMAS Y RESTAS DE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS Para resolver la suma y la resta de expresiones que involucran las funciones trigonométricas debemos ajuntas los términos semejantes y reducirlos .                         NOTA:                           Para sumar ...

LEY DEL SENO Y COSENO La ley del seno es una relación o proporcionalidad entre las longitudes de un triangulo y los senos de sus respectivos ángulos opuestos usualmente se presenta de la siguiente forma: De un triangulo ABC las de los lados opuestos a los B y C son respectivamente entonces : a/ sen A= B/ Sen B La ley del coseno:  De una generalización del teorema de pitágoras en triangulo rectángulo que se utiliza normalmente en trigonometría.  El teorema relaciona un lado de un triangulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del angulo formado por estas dos lados. Dado un triangulo ABC siendo a,b, los ángulos y lados respectivamente opuesta a estos ángulos entonces: C al cuadrado+ b al cuadrado= ab cos y

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas) Relaciones básicas Relaciones pitagóricas sen al cuadrado de theta + cos al cuadrado de thata = 1 Identidad de la razón  tan de theta= sen de theta sobre sen de theta  De estas dos identidades, se pude elaborar la siguiente tabla. sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto ( + ó -) Por ejemplo, si sen de theta= 1/2 la conversión propuesta en la tabla os de theta= raíz 1- sen al cuadrado de theta = raiz de 3/2 aunque es posible que cos de theta= -raíz de 3/2. Para obtener el signo correcto se necesita saber los valores por las cuales la función trigonométricas en cuestión es negativa o positiva. IDENTIDAD Una identidad es una igualdad entre dos expresion...

DIFERENCIA DE CUADRADOS La diferencia de los cuadrados de dos expresiones que involucran funciones trigonometricas es igual a la suma pr la diferencia de las expresiones  Ejemplo: (cosx + sen x ) (cos x - sen x) cos al cuadrado de x - sen al cuadrado de x= (cosx+senx) (senx-cosx) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO El primero por la potencia, segundo termino sacado por o que esta dentro del paréntesis y ultimo por la potencia. Para simplificar una fracción en el que el numerador y denominador son productos de funciones trigonométricas se aplica de funciones trigonométricas se aplica la propiedad de cociente de potencia de igual base. Para simplificar una fracción en la que el numerador y el denominador consta de dos o mas términos, se factoriza el numerador y el denominador y se simplifica los factores comunes.  

 Función   Es una relación entre un conjunto dado x (llamado dominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f (x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito)  DOMINIO: es un conjunto abierto en el cualquiera de dos puntos están unidos mediante una línea poligonal Ejemplo: Si la función f (x)= x al cuadrado, se le dan los valores x= (1,2,3...)  Es el dominio RANGO: Es el conjunto de todos los valores de salida de una función o es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función los valores que puede llegar a tomar la función  Ejemplo: Si la función F (x)= X al cuadrado se le dan los valores x= (1,2,3...) entonces el rango sera x=(1.4,9...)

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN ÁNGULOS DE 30° 45° Y 60°  #Angulos de 80° y 60° Para determinar las razones trigonométricas en ángulos de 30° y 60° se utiliza una construcción auxiliar de un triangulo equilátero

RAZONES TRIGONOMETRICAS EN UN ANGULO RECTÁNGULO CONOCE: Los triángulos rectángulos ABC y ABD son semejantes porque cumplen el criterio de semejantes porque cumplen el criterio de semejanza ángulo- ángulo ( los dos tiene un angulo recto y comparten la medida del angulo de 33,69°). Por lo tanto, el angulo es congruente con el angulo C, es decir   α= 56,31° Por ser triangulo semejantes, se puede establecer razones y proporciones entre las medidas de sus lados y asi hallar la medida del segmento AB                                                                       AC = AB; entonces,  4 = AB                                                       ...

                                             CIRCUNFERENCIA UNITARIA El estudio de las funciones trigonométricas requiere el análisis de su  comportamiento y de la identificación de su dominio y su rango . Para realizar dicho análisis se considera la circunferencia de radio 1 centrada en el plano cartesiano . La circunferencia unitaria es aquella que tiene como centro el origen de plano cartesiano y de radio la unidad . En la figura anterior se muestra la circunferencia unitaria que contiene al punto P(x,y); al aplicar el teorema de pitagoras se obtiene que para cada punto se cumple que x2+y2=1 s= t inudades                    formulas de arco : S= θ x r S= t x 1 = t unidades  si  θ es un angulo en posición normal cuya medida es = a t rad la medida de arco S  subtendido por dicho a...

TRIGONOMÉTRIA La palabra trigonométria se deriva de dos raíces griegas: trigon que significa triangulo y metra que significa medida . la trigonométrica se origino como el estudio de la relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos y se empleo para resolver inicialmente problemas de navegación y realizar cálculos astronómicos. Los primeros en utilizar razones trigonométricas para tomar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides . En Grecia se destacan los trabajos de Hiparco de necia y de Claudio Tolomeo quienes construyeron Las primeras tablas de las funciones trigonométricas . A finales del siglo XIII los astrónomos árabes emplearon las funciones Zeno y a finales del siglo XIV ya se utilizaban las otras 5 funciones . La  trigonométrica árabe se difundió por el medio de traducciones de libros de astronomía arabicas, comenzaban a aparecer en el siglo XII. En la actualidad la trigonométrica se usa en muchos campos   del conocimien...

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS CUADRANTES Hasta el momento se han estudiado las 4 cuyo lado final se encuentra en uno de los 4 cuadrante, ahora es importante considerar los ángulos cuyo lado final coincide en uno de los semiejes del plano cartesiano. A los angulos en posicion normal cuyo lado final coincide con alguno de los semiejes del plano cartesiano se llama ángulos cuadrantes: En las siguiente figura se muestra los angulo cuadrantes de 90°, 180°, 540°, -90°y -180° En el siguiente cuadro se presenta los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos cuadrantales mayores que 0 o iguales o menores a 0

SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN POSICION NORMAL Para determinar el signo de las funciones trigonométricas de r, x, y ai  se debe analizar el comportamiento    θ es un angulo en posicion normal. Es un punto sobre el lado normal de    θ (theta) diferente de (0,0) X y Y varían dependiendo en el cuadrante en el que encuentren por lo tanto el signo de las funciones trigonométricas de cada angulo depende de x y y En el siguiente cuadro se presenta las funciones del angulo o en posicion normal y diferente cuadrante en el que pueda estar ubicado al lado final Si tangente de    θ  es igual a    3   y el lado final de    θ esta en el tercer cuadrante determina el valor de seno de    θ                                                ...

VELOCIDAD LINEAL La velocidad lineal (V) de un punto sobre una circunferencia se define de 2 maneras. -V=S/T             Ó        -V= r X w V=S/T  = R x θ        =      R x  θ  = r x w        t                           t   EJEMPLO: Con respecto el noviembre de la tierra al rededor de se propio eje , para un punto del ecuador  terrestre determinar: 1.Velocidad angular  2.Velocidad lineal R/1 θ=   2 π  rad t= 24h      w=   2 π rad      24h         w=  π     rad/h  12 R/2 V= r x W V= 6.375Km   x     π   rad/h                   12 ...

TRIÁNGULOS El triangulo es un polígono de tres lados que da origen a tres vértice y tres ángulos internos. Es la figura mas simple, despues de la recta en la geometría. Como norma general un triangulo se representa con tres mayúsculas. Como norma general un triangulo se representa con tres mayúsculas de los vértices (ABC). De acuerdo a la longitud de sus lados, un triangulo puede clasificarse en equilatero, donde los tres lados del triangulo son iguales, en isosceles, el triangulo, tiene dos lados iguales y uno desigual, y en escaleno donde el triangulo tiene los tres lados iguales. También se puede clasificar según la medida de sus ángulos, puede ser un rectángulo, donde los tres ángulos, puede ser un acutangulo, donde los tres ángulos son agudos, es decir, ángulos menores que 90°. Si un triángulo presenta un angulo recto o ángulo de 90° se dice que es rectángulo, y si presenta a uno de los tres ángulos como obtuso, es decir, angulo mayor que 90° se considera como obtusángulo ...

 ÁNGULOS Es la union a las semirectas se les denomina lados y al origen se le llama vértice. Segun esta definicion el orden en que se nombran los lados de un angulo es indiferentes. sin embargo en el estudio de la trigonometría es importante tener en cuenta el lado que se nombra primero. es decir hay diferencia en decir que el angulo CBA y el angulo ABC ya que nos permite identificar el sentido y el ciclo del angulo (positivo, negativo) Considerados así los ángulos se llaman orientados. Angulo CBA BC lado inicial BC lado final  B vértice POSITIVO  en contra al reloj  Angulo ABC AB lado inicial BC lado final B vértice  NEGATIVO a favor del reloj Los también se pueden nombrar por las letras   α alfa  β beta  θ theta  ÁNGULOS SOBRE EL PLANO CARTESIANO Un angulo  α se considera que esta en posición canónica o normal si su vértice  coincide con el origen y el lado inicial y e...